株価が1、250円に上昇株価が800円に下落コール・オプションの価値250円0円今、株式を5/9株購入して、銀行から金利5%で423、28円借りるポートフォリこのように、この株式と銀行借り入れのポートフォリオは1期後にコール・オプションとまったく同じ損益をもたらす。
したがって、コール・オプションはこのポートフォリオ(複製ポートフォリオ)と同じ価格にならなくてはならない。 これは次のように計算される。
コール・オプションの価格株式の価値一借入額なお、複製ポートフォリオに含まれる株式の数はヘッジ・レシオまたはオプション・デルタと呼ばれ、次の式で計算される。 もし、コール・オプションの価格が複製ポートフォリオの価値と異なっていれば、何が起こるであろうか。
コール・オプションの価格が複製ポートフォリオの価格より高ければ、株式を5/9株購入し、423、28円借り入れし、オプションを売れば、まったくリスクなしに裁定利益をあげることができる。 逆に、コール・オプションの価格が複製ポートフォリオの価格より低ければ、まったく逆のポジションをとれば利益をあげることができる。
この結果、コール・オプションと複製ポートフォリオの価格は一致するようになる。 このように1期間後に株式が上昇するか、下落するというこ通りのどちらかしか起こらないと想定した世界(二項モデル)では、借り入れと株式を組み合わせれば、オプションと同じ損益をもたらすようなポートフォリオ(複製ポートフォリオ)をつくることができ、複製ポートフォリオの価格を求めれば、それがオプションの価格となる。
以上の例では、コール・オプシヨンの価格を求めたが、プット・オプシヨンについても同様に複製ポートフォリオをつくれば価格を計算できる。 この場合には、デルタ(複製ポートフォリオに含まれる株式数)はマイナスになり、株式は売りポジションとなる。

以上のオプションの価格計算を別の形でおこなってみよう。 二項モデルの世界でのオプション価格の計算の際には、投資家のリスクに対する態度に関係なく、オプション価格が決定された。
それゆえ、投資家はリスク中立的であり、オプシヨンの期待キャッシュフローを無リスク金利で割り引いてオプションの価格を決定すると想定してみよう。 投資家がリスク中立的である場合には、株式についても無リスク金利と同じ期待収益率5%を要求する。
株価上昇の収益率が25%、下落の収益率が20%であったので、次の式が成立する。 株式の期待収益率25%X株価が上昇する確率・(20%)X株価が下落する確率これを解くと、株価が上昇する確率一下落する確率ーとなる(注)。
株価が上昇するとオプションの価値は250円になり、下落するとO円になるので1期後のオプション価値の期待値は次のようになる。 1期後のオプション価格の期待値250X・OX138、88円無リスク金利一下落する場合の収益率上昇する場合の収益率一下落する場合の収益率合、上昇確率ーーとなる。
このように、投資家がリスク中立的であると想定し1期後のオプション価値の期待値を無リスク金利で割りヲけば、複製ポートフォリオをつくる場合と同じオプション価格が求められる。 ただし、ここで注意すべきことは1期後のオプション価値の期待値を求める際に用いた確率は、実際に株価が上昇する確率、下落する確率ではなく、株式の期待収益率が無リスク金利に等しくてよいとリスク中立的な投資家が考えた際に想定される確率である。
このため、この確率はリスク中立確率と呼ばれる。 2、2理論価格の意味。

二項モデルは、ある1期間に原資産の価格変動の可能性が上昇、下落の二通りしかない場合に、原資産と借り入れを組み合わせて、オプションと同じ損益を生む複製ポートフォリオをつくれば、その価値がオプションの理論価格になるというものであった。 この考え方を用いて、現実のオプションの価格を計算するためには1期間を短くして、期間の数を増やせばよい。
例えば、図155は2期間の二項モデルを示している。 この場合には、まず満期(2期後)のオプションの価値を複製するポートフォリオを原資産とキャッシユの貸し借りを組み合わせてつくる。
これによって1期後のオプションの価値(1期目に原資産が上昇する場合と下落する場合の二通り)が計算される。 次に1期後のオプションの価値を複製するポートフォリオをつくれば、現時点でのオプションの理論価格が求められる。
このような多期間の二項モデルで、期間の長さを非常に短くし、期間の数を無限大にすれば、次のようなヨーロビアン・タイプのオプションの理論価格を計算する公式が得られる。 これは、ブラック・ショールズ・モデルと呼ばれる。
ブラック・ショールズ・モデルは非常に複雑にみえるが、直観的な解釈としては、次の式が示すように、二項モデルで期間を非常に短くして極限状態をとった場合の株式と貸し借りを組み合わせた複製ポートフォリオの価値を表していると考えればよい。 ある企業の株価が1、000円であるとき、30日後に満期を迎える行使価格1、100円のコール・オプションの価格をブラック・ショールズ・モデルを用いて計算してみよう。
ただし、無リスク金利は5%、株式の標準偏差は20%とする。 (1)d"d2の計算まず、d1、d2を計算する。
なお、d1の定義式でInは自然対数を表す。 また、T(満期までの期間)は年単位で考え、この例ではーーとする。
(2)N(d)の計算N(d)は、標準正規分布(平均値がOで標準偏差が1である正規分布)の累積密度関数を表す。 N(d1)N(1、5619)は標準正規分布で値が1、5619以下になる確率のことであり、標準正規分布を示す図156では、網かけ部分の面積で表される。
N(d)を求めるには、標準正規分布表を用いるか、表計算ソフトの関数を用いればよい。 表計算ソフトを用いるとN(d)は以下のように求められる。
なお、以上の計算式の第2項のEe「Tは、行使価格Eの現在価値を連続複利(微少時聞を単位とする複利計算)で計算することを意味している。 初級のテキストでは、通常の方法(離散複利)で現在価値を計算しているものもある。

例えば1年当たり複利で現在価値を計算するとコール・オプションの価格は以下のように計算される。 回投資プロジェク卜とオプション3、1追加投資のオプション価値。
企業がおこなう新事業分野の投資の中には、その投資プロジェクト自体は利益をもたらさないが、早めに新規分野に進出することにより、その後の事業の展開を容易にする効果があるものがある。 このような新規分野での初期投資をおこなうことは、いわば、新規分野で追加投資プロジェクトをおこなうコール・オプションを買っていることになる。
このように新事業進出の投資はオプションの要素が入っているので、単に現時点での正味現在価値(NPV)を計算して、プラスならば実行、マイナスならば棄却といった判断をおこなうだけでは不十分である。 このため、多くの企業は戦略的な判断もまじえて、新規事業の投資判断をおこなっている。
ここでは次の仮想例を用いて、新事業の持つオプション価値を計算してみよう。 A社はパソコンに利用される新規記憶媒体事業に参入することを計画している。

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